آموزش معادلات دیفرانسیل به زبان ساده + فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل

معادله دیفرانسیل معادله‌ای است که شامل حداقل یک مشتق از یک تابع مجهول باشد، و یا یا یک عبارت مشتق معمولی و یا یک عبارت مشتق جزئی را شامل می‌شود. فرض کنید سرعت تغییر تابع y نسبت به x با y نسبت معکوس دارد، در این خصوص این مورد در علم معادلات دیفرانسیل به صورت dy/dx = k/y بیان می‌شود. در حساب دیفرانسیل و انتگرال، معادله دیفرانسیل معادله‌ای است که مشتق (مشتقات) متغیر وابسته را نسبت به متغیر مستقل (متغیرها) در بر می‌گیرد و یا پوشش می‌دهد. مشتق چیزی جز درجه و یا نرخ تغییر را نشان نمی‌دهد، و معادله دیفرانسیل به ما کمک می‌کند تا رابطه‌ای بین کمیت در حال تغییر با توجه به تغییر در کمیت دیگر ارائه نماییم. مثلاً در علم دیفرانسیل y=f(x) تابعی باشد که y یک متغیر وابسته، f یک تابع مجهول، x یک متغیر مستقل است، این مورد نمونه کمی در آموزش معادلات دیفرانسیل می‌باشد و ما در زیر چند مورد از معادلات دیفرانسیل را خدمت شما ارائه می‌کنیم:
این موارد نمونه هایی از معادلات دیفرانسیل هستند.

ترتیب یک معادله دیفرانسیل بالاترین مرتبه مشتق ظاهر شده در معادله را شامل می شود حال در این خصوص می توانید معادلات دیفرانسیل زیر را در نظر بگیرید

dy/dx = ex, (d4y/dx4) + y = 0, (d3y/dx3) + x2(d2y/dx2) = 0

در مثال های معادله دیفرانسیل بالا، بیشترین مقدار مشتق به ترتیب درجه اول، چهارم و سوم است.

• آموزش معادلات دیفرانسیل با میپل Maple — کلیک کنید

در مثال اول می‌بینید، معادله دیفرانسیل مرتبه اول است که درجه‌ای برابر با 1 را دارد. تمام معادلات خطی به صورت مشتقات در مرتبه اول قرار دارند. فقط مشتق اول مانند dy/dx وجود دارند که دارای x و y به عنوان دو متغیر هستند و به صورت: dy/dx = f(x, y) = y" نمایش داده می‌شود.

معادله ای که مشتق مرتبه دوم را شامل می شود معادله دیفرانسیل مرتبه دوم می باشد. و به صورت زیر نمایش داده می شود؛ d/dx(dy/dx) = d2y/dx2 = f”(x) = y”.

تا اینجا ما معادلات دیفرانسیل مرتبه اول و دوم را بررسی نمودیم حال به سراغ درجه معادلات دیفرانسیل می رویم.

اگر یک معادله دیفرانسیل به صورت چند جمله‌ای بیان باشد، آنگاه به توان انتگرال مشتق بالاترین مرتبه که ظاهر می‌شود، درجه معادله دیفرانسیل آشکار می‌شود. درجه معادله دیفرانسیل، توان مشتق بالاترین مرتبه موجود در معادله است. برای یافتن درجه معادله دیفرانسیل، باید یک عدد صحیح مثبت به عنوان شاخص هر مشتق داشته باشیم. اگر یک معادله دیفرانسیل بر حسب معادله چند جمله‌ای که مشتق بالاترین مرتبه را به عنوان عبارت اصلی دارد قابل بیان نباشد، آن درجه از معادله دیفرانسیل تعریف نمی‌شود.

انواع معادلات دیفرانسیل چه می باشند؟

انواع معادلات دیفرانسیل به صورت زیر طبقه بندی می شوند:

• معادلات دیفرانسیل معمولی
• معادلات دیفرانسیل جزئی

معادله دیفرانسیل معمولی که با نام ODE نیز شناخته می‌شود، معادله‌ای است که تنها شامل یک متغیر مستقل و یک یا چند مشتق از آن با توجه به متغیر است. بنابراین، معادله دیفرانسیل معمولی به عنوان رابطه‌ای با یک متغیر مستقل x، متغیر وابسته y، و با برخی از مشتقات آن y، y، ….yn،… دارد و با توجه به x نمایش داده است می‌شود. معادله دیفرانسیل معمولی می‌تواند همگن یا ناهمگن باشد. به عنوان مثال:

مثال: (d2y/dx2) + (dy/dx) = 3y cosx

مثال معادله دیفرانسیل فوق یک معادله دیفرانسیل معمولی است زیرا دارای مشتقات جزیی نمی باشد.

• آموزش معادلات دیفرانسیل به همراه حل سوالات آزمون کارشناسی ارشد — کلیک کنید

معادله دیفرانسیل که در آن درجه همه عبارت‌ها یکسان است به عنوان معادله دیفرانسیل همگن شناخته می‌شود. به طور کلی می‌توان آنها را به صورت P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 نشان داد که در آن P(x,y) و Q(x,y) توابع همگن با درجه یکسان می‌باشند.

مثال‌هایی از معادله دیفرانسیل همگن:

y + x(dy/dx) = 0 یک معادله دیفرانسیل همگن درجه 1 است

x4 + y4 (dy/dx) = 0 یک معادله دیفرانسیل همگن درجه 4 است

xy(dy/dx) + y2 + 2x = 0 یک معادله دیفرانسیل همگن نمی‌باشد

تمامی این مثال‌ها در خصوص معادلات دیفرانسیل همگن به کار می‌روند.

معادله دیفرانسیل که در آن درجه همه عبارت‌ها یکسان نیست به عنوان معادله دیفرانسیل همگن شناخته می‌شود.

مثال: xy(dy/dx) + y2 + 2x = 0 یک معادله دیفرانسیل همگن در بین مثال‌هایی که آوردیم نمی‌باشد.

یکی از انواع معادلات دیفرانسیل ناهمگن، معادله دیفرانسیل خطی، مشابه معادله خطی می‌باشد. معادله دیفرانسیل شکل (dy/dx) + Py = Q (که در آن P و Q تابعی از x هستند) معادله دیفرانسیل خطی نیز نامیده می‌شود. (dy/dx) + Py = Q (که در آن P، Q ثابت یا تابعی از y هستند).

معادله‌ای که فقط مشتقات جزئی یک یا چند تابع از دو یا چند متغیر مستقل را شامل می‌شود، معادله دیفرانسیل جزئی نامیده می‌شود که به آن PDE نیز می‌گویند. چند نمونه از معادلات دیفرانسیل جزئی به صورت زیر می‌باشند که به عنوان مثال برایتان آورده‌ایم.

تشکیل معادلات دیفرانسیل و یا ساخت معادلات دیفرانسیل به چه صورت می‌باشد.

ساخت معادلات دیفرانسیل از یک سری معادله‌های دیگر مدل سازی شده‌اند. قانون دوم نیوتن با معادله دیفرانسیل m توصیف می‌شود، جایی که m جرم جسم است، h ارتفاع بالاتر از سطح زمین است و معادله دیفرانسیل مورد نظر به صورت عبارت چند جمله‌ای می‌باشد. به طوری که معادله دیفرانسیل نیوتون به صورت می‌باشد. این معادله دیفرانسیل مرتبه دوم ارتفاع مجهول به عنوان تابعی از زمان است. با افزایش زمان، جمعیت افزایش می‌یابد. اگر r > 0 نرخ رشد در این معادله باشد، آنگاه معادله دیفرانسیل مدل سازی جمعیت به صورت dN/dt = rN ارائه می‌شود.

به عنوان مثال سرعت انتشار بیماری متناسب با محصول افراد مبتلا با افراد غیر آلوده است. این به صورت dN/DT = k N(T-N) مدل‌سازی می‌شود، که در آن T جمعیت ثابت و N تعداد افراد مبتلا به بیماری است. برای یک ماده معین، سرعت تغییر فشار بخار P نسبت به دمای T با فشار بخار متناسب و با مجذور دما نسبت معکوس دارد. dP/dt = k P/T^2 و تمامی این موارد مطرح شده در این بخش بر طبق معادله دیفرانسیل قانون نیوتون می‌باشد.

معادله دیفرانسیل راه حل‌های بی نهایت زیادی دارد. حل یک معادله دیفرانسیل به عنوان یکپارچه سازی یک معادله دیفرانسیل شناخته می‌شود زیرا فرآیند یافتن جواب یک معادله دیفرانسیل شامل یکپارچه سازی برخی درجات در معادله دیفرانسیل می‌باشد. حل یک معادله دیفرانسیل عبارتی است برای متغیر وابسته بر حسب متغیر مستقل که معادله دیفرانسیل را برآورد می‌کند. راه حلی که دارای تعداد اعداد ثابت دلخواه نسبت به معادله دیفرانسیل باشد، راه حل کلی معادلات دیفرانسیل نامیده می‌شود. اگر در حل کلی معادله دیفرانسیل مقادیر خاصی به مقدار ثابت‌های دلخواه بدهیم، جواب حاصل را حل جزئی می‌نامند. نتیجه حذف یک ثابت دلخواه یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول و نتیجه حذف دو ثابت دلخواه منجر به یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم و غیره خواهد شد. به عنوان مثال حل معادله دیفرانسیل زیر را با هم بررسی می‌کنیم:

(dy/dx) = x2y + y

مرحله 1: معادله دیفرانسیل بالا را بر y تقسیم کنید. (متغیر را جدا می‌کنیم)

(1/y)(dy/dx) = (x2 + 1)

حال y و x را هر دو به عنوان متغیر در نظر می‌گیریم و آن را به صورت بازنویسی می‌کنیم.

(dy/y) = (x2 + 1)dx

در مرحله بعدی انتگرال عبارت LHS را با توجه به مقادیر X,y محاسبه می‌کنیم.

∫(1/y)dx = ∫(x2 + 1)dx

بعد از انتگرال گیری باید عملیات زیر را به انجام برسانیم:

log y = (x3/3) + x + c

خوب، بدین گونه معادله دیفرانسیل حل می‌شود.

کاربردهای معادلات دیفرانسیل معمولی در زندگی واقعی برای محاسبه حرکت یا جریان الکتریسیته، حرکت یک جسم به این طرف و آن طرف مانند یک آونگ، و همچنین برای توضیح مفاهیم ترمودینامیک استفاده می‌شود. همچنین در اصطلاح پزشکی از معادلات دیفرانسیل برای بررسی رشد بیماری‌ها در نمایش‌ها و نمودارهای گرافیکی استفاده می‌شود. معادلات دیفرانسیل در توصیف مدل‌های ریاضی شامل رشد جمعیت یا واپاشی ماده رادیو اکتیو نیز مورد بررسی قرار می‌گیرند.

معادلات دیفرانسیل معمولی

معادلات دیفرانسیل جزئی

معادلات دیفرانسیل همگن چه کاربردی دارند؟

در مثال اول می‌بینید، معادله دیفرانسیل مرتبه اول است که درجه‌ای برابر با 1 را دارد. تمام معادلات خطی به صورت مشتقات در مرتبه اول قرار دارند.

تعریف دقیق انتگرال چه می باشد؟

انتگرال دقیقا برعکس مشتق عبارات می باشد.

ترتیب بندی در معادلات دیفرانسیل به چه معنایی می باشد؟

به راحتی می‌توان ویژگی‌های معادلات دیفرانسیل را تعریف کرد که صحبت در مورد آنها و دسته بندی آنها را آسان‌تر می‌کند. اساسی‌ترین مشخصه یک معادله دیفرانسیل نظم و ترتیب آن می‌باشد.

به طور کلی معادله دیفرانسیل به چه معنایی می باشد؟

معادله دیفرانسیل معادله‌ای است که شامل یک تابع y=f(x) و یک یا چند مشتق از آن است. جواب در معادلات دیفرانسیل تابعی به نام y=f(x) است که معادله دیفرانسیل را زمانی که f و مشتقات آن در معادله جایگزین می‌شوند برآورده می‌سازد.

در این مقاله ما آموزش معادلات دیفرانسیل را بررسی کردیم و جزئیات مربوط به آن را نیز مورد بررسی قرار دادیم. در خصوص معادلات دیفرانسیل مهم‌ترین نکته‌ای که در مورد آنها وجود دارد، این است که به صورت تابع هستند و با مشتق نیز ارتباط تنگاتنگی دارند. همچنین ما معادلات دیفرانسیل و انتگرال داریم و باید این را هم بدانیم که انتگرال دقیقاً عکس مشتق است یعنی در مشتق ما یک واحد از توان کم می‌کنیم ولی در انتگرال ما یک واحد به توان اضافه می‌کنیم، البته باید خاطر نشان کنیم که این مورد مربوط به انتگرال‌های معمولی می‌باشد.

نکته دیگر در مورد یادگیری و آموزش معادلات دیفرانسیل این است که باید مثال‌های زیادی از این قبیل ببینید و حل کنید. به طور کلی در علم ریاضی ما مثال‌های متنوعی در هر مبحث داریم که هر کدام هم راه حل‌های متنوعی دارند. اگر برای کنکور در حال درس خواندن هستید و فکر می‌کنید که معادلات دیفرانسیل بسیار چالش برانگیز هستند، باید به شما بگوییم که اشتباه می‌کنید. شما با این مقاله مفهوم اصلی معادلات دیفرانسیل را درک خواهید کرد و با حل چند مثال بر این مفهوم تسلط خواهید یافت. در پایان مایلم آموزش نرم افزار FlexPDE فرادرس را به شما معرفی کنم؛ برای دریافت این آموزش می‌توانید به لینک زیر مراجعه کنید:

• آموزش نرم‌ افزار FlexPDE برای مدل‌ سازی و حل معادلات دیفرانسیل — کلیک کنید