آموزش درس ریاضی فیزیک 1 + معرفی منابع آموزشی

همانطوری‌که می‌دانیم ریاضیات به نوعی در همه رشته‌های تحصیلی و علوم مختلف وارد شده است. در تمام رشته‌های مهندسی از جمله کامپیوتر با عنوان ریاضی مهندسی به کار برده می‌شود، در رشته فیزیک هم روش‌های ریاضی در فیزیک، با عنوان درس ریاضی فیزیک 1 و 2 مورد استفاده قرار می‌گیرد. مهمترین مرجعی که برای این درس در جهان وجود دارد و تدریس می‌شود کتاب جورج آرفکن (George Arfken) است. این کتاب دارای 7 فصل است که تمام مباحث ریاضی به کار رفته در علم فیزیک را به طور کامل تشریح می‌کند. باید بگویم که پیچیده‌ترین و سخت‌ترین مباحث ریاضی، همان‌هایی هستند که در علم فیزیک مورد استفاده قرار می‌گیرند.

• مجموعه آموزش رایگان ریاضی و فیزیک — کلیک کنید

درس ریاضی فیزیک 1 درسی است که اصولاً طبیعت آن با درس‌های دیگر متفاوت است. در سایر دروس یک روال و رویه‌ی منطقی وجود دارد که آن را دنبال می‌کنید اما درس ریاضی فیزیک 1 درسی گسسته است و موضوعات آن اغلب ربطی به هم ندارند و نمی‌توان آن‌ها را گام به گام و مرحله به مرحله دنبال کرد.

در حالت کلی می‌توان گفت ریاضی که در فیزیک مورد استفاده قرار می‌گیرد شاید همگن نباشد یعنی در یک مبحث ممکن است چندین مبحث غیرمرتبط ریاضی مطرح شود. در این مطلب سعی شده به طور کلی مباحث این درس آموزش داده شود اما اگر می‌خواهید همین آموزش را به صورت فیلم آموزشی دریافت کنید، می‌توانید به فرادرس مراجعه نمایید. برای دریافت این آموزش بر روی لینک زیر کلیک نمایید:

• آموزش ریاضی فیزیک ۱ — کلیک کنید

در علم فیزیک دو نوع کمیت وجود دارد:

• کمیت‌های نرده‌ای: کمیت هایی هستند که فقط اندازه دارند مثل دما، زمان، جرم و غیره
• کمیت‌های برداری: کمیت‌هایی هستند که علاوه بر اندازه، جهت هم دارند مثل نیرو، شتاب، سرعت و غیره

در شکل زیر دو قانون جمع برداری را مشاهده می‌کنید، در اولی که قانون مثلثی نام دارد بردارها به صورت مثلثی جمع می‌شوند، در دومی هم که قانون متوازی‌الاضلاع نام دارد، بردارها به صورت متوازی‌الاضلاعی جمع می‌شوند که مقادیر A, B, C می‌توانند منفی یا مثبت باشند.

در قسمت قبل بردارها را به صورت هندسی نشان دادیم یعنی با مشخص کردن بزرگی و جهت آن‌ها، حالا می‌خواهیم آن‌ها را به صورت جبری هم نشان دهیم یعنی در محورهای مختصات.

در نمودار فوق روابط زیر برقرار است:

دستگاه های مختصات

در قسمت‌های قبل با دو روش جبری و روش هندسی برای تحلیل بردارها آشنا شدیم. در این بخش از ریاضی فیزیک 1، با دستگاه های مختصات که کامل‌تر از روش‌های قبل هستند آشنا می‌شویم. برای بررسی مفهوم بردار r در دستگاه مختصات، ابتدا حالت دوبعدی آن را در نظر می‌گیریم به این صورت که، x و y به اندازه φ در جهت عکس عقربه‌های ساعت چرخیده و r ثابت می‌ماند که در این حالت روابط زیر برقرار است:
مشاهده می‌کنید که می‌توانیم بردار را با مختصات یک نقطه هم نمایش دهیم.

بعد از تعریف بردارها به ترکیب آن‌ها می‌پردازیم. ترکیب ABcosθ، ترکیبی است که از این به بعد بارها و بارها از آن استفاده خواهیم کرد، A و B دو بردار و θ زاویه بین آن‌هاست.

A.B = ABcosθ

اگر A و B دو بردار باشند و زاویه بین آن‌ها θ باشد، بردار مجموع آن‌ها با استفاده از قانون کسینوس ها به صورت زیر تعریف خواهد شد.

در این نوع ضرب‌ها به جای استفاده از کسینوس زاویه بین دو بردار از سینوس زاویه بین دو بردار استفاده می‌شود و به صورت زیر است:

اگر تابع (x,y,z)φ تابعی باشد که مقدارش به مقدار مختصات (x,y,z) بستگی داشته باشد (یعنی یک تابع نقطه‌ای اسکالری باشد.) و در هر نقطه از فضا دارای مقدار مشخصی بدون وابستگی به چرخش دستگاه مختصات باشد، آن‌گاه شرط زیر برقرار است:

φََ (xَ1,xَ2,xَ3)=φ(x1,x2,x3)

مطابق شکل زیر، از طرفین معادله مشتق گرفته و در نهایت به معادله بردار گرادیان φ می‌رسیم. گرادیان تابع اسکالر φ را با نماد مثلث وارونه نشان می‌دهند و آن را دِل φ هم می‌گویند، یک عمل دیفرانسیلی است که بر روی اسکالر φ عمل کرده و یا از آن مشتق می‌گیرد.

وقتی از یک تابع برداری مشتق می‌گیریم درواقع آن را به مشتق‌گیری از کمیت‌های اسکالر یا عددی تعمیم می‌دهیم. اجازه دهید با یک مثال بیشتر توضیح بدهم، فرض کنیم می‌خواهیم سرعت لحظه‌ای یک ماهواره در لحظه t با بردار r(t) را محاسبه کنیم، این کار را به صورت زیر بیان می‌کنیم.

در دیورژانس هم به لحاظ نموداری، گرادیان یک منحنی یا مدار و یا مسیر را داریم. حالا اگر بخواهیم r(t) را به مؤلفه‌های دکارتی‌اش تجزیه کنیم شرایط کمی پیچیده‌تر می‌شود چون جهت بردارهای یکه در این دستگاه‌ها ثابت نیست.

• آموزش ریاضی مهندسی — کلیک کنید

بهتر است این نکته را نیز ذکر کنم که مشتق گیری نسبت به مختصات فضایی هم مثل مشتق گیری نسبت به زمان صورت می‌گیرد. در قسمت قبل دیدیم که گرادیان به صورت یک عملگر برداری تعریف می‌شود، حالا با در نظر گرفتن هر دو جنبه خاصیت برداری و مشتق گیری از این بردار، حاصل اعمال آن‌ها بر یک بردار دیگر را بررسی می‌کنیم.

همان‌طوری‌که در فرمول بالا می‌بینید، به حاصل‌ضرب داخلی یک بردار با گرادیان، دیورژانس می‌گویند.

در این بخش از ریاضی فیزیک 1 بعد از سپری کردن مشتق گیری به انتگرال گیری از بردارها می‌رسیم. سه نوع انتگرال گیری برداری داریم:

1. انتگرال گیری خطی
2. انتگرال گیری سطحی
3. انتگرال گیری حجمی

در هر سه حالت ابتدا انتگرال برداری به انتگرال اسکالر ساده شده و سپس به همان روش حل می‌شود.

بین انتگرال سطحی یک بردار و انتگرال حجمی دیورژانس آن بردار رابطه مفیدی وجود دارد که به قضیه گاؤس معروف است. اگر فرض کنیم که بردار V و مشتق‌های مرتبه اول آن در یک ناحیه مشخص پیوسته باشند، در این حالت قضیه گاؤس به صورت زیر تعریف می‌شود:

در حالت کلی انتگرال سطحی یک بردار روی یک سطح بسته برابر است با انتگرال حجمی دیورژانس آن بردار روی حجم محاط شده درون سطح.

قضیه گرین صورتی دیگری از قضیه گاؤس است که اکثراً مورد استفاده قرار می‌گیرد و شکل کلی آن به صورت زیر است:

معادله فوق از تفاضل اتحادهای دو تابع اسکالر u و v به دست می‌آید که فرض می‌کنیم، u و v و مشتق‌های آن‌ها پیوسته باشند. از قضیه فوق برای بررسی توابع گرین استفاده می‌شود و صورت‌های مختلفی از معادله گرین وجود دارد.

اگر در شکل زیر در قسمت (1) به جای E عبارت بالای فلش را قرار دهیم، یک معادله پواسن به دست می‌آید. (قسمت 2)

حال اگر در معادله (2) مقدار P را برابر صفر در نظر بگیریم حاصل برابر یک معادله لاپلاس خواهد بود. در درس ریاضی فیزیک 1 با معادله لاپلاس بسیار سر و کار خواهیم داشت. معادله پواسن در تشریح و ارائه نظریه توابع گرین بسیار مؤثر است.

در فصل قبل با دستگاه‌های مختصات دکارتی آشنا شدیم ، مزیت منحصربه‌فرد دستگاه‌های مختصات دکارتی این است که هم جهت و هم بزرگی سه بردار یکه i, j, k ثابت است. ولی حل همه مسائل فیزیک ازجمله نیروی گرانشی یا نیروی الکتروستاتیکی و غیره با دستگاه‌های مختصات دکارتی امکان‌پذیر نیست. در این حالت باید فاصله شعاعی به عنوان یکی از مختصات در نظر گرفته شود.

یکی از مباحثی که در حوزه علم فیزیک اهمیت بسیار بالایی دارد و در ریاضی فیزیک 1 نیز درمورد آن بحث شده است تانسورها هستند. تانسورها در نظریه الکترومغناطیس و نسبیت عام کاربرد دارند. یکی از قلمروهایی که در آن‌ها ظهور کمیت‌های تانسوری رایج است، جامد ناهمسان‌گرد است. خواصی که باعث شده‌اند تا جامد ناهمسان‌گرد متضمن تانسورها باشند عبارت‌انداز:

• خاصیت کشسانی
• خاصیت اپتیکی
• خاصیت الکتریکی
• خاصیت مغناطیسی

نظریه کشسانی

بر اساس این نظریه اگر یک جسم کشسانی تحت تاثیر یک نیروی خارجی یا یک تنش قرار بگیرد تغییر شکل می‌دهد یا دستخوش کرنش می‌شود. بر حسب تانسور، بررسی کشسانی در سه بخش زیر انجام می‌شود:

1. توصیف کرنش یا تغییر شکل ماده کشسان
2. توصیف نیرو یا تنشی که تغییر شکل را به‌وجود می‌آورد.
3. قانون تعمیم یافته هوک به صورت تانسوری که مابین تنش و کرنش رابطه برقرار می‌کند.

آرایه‌ای مربعی از اعداد یا توابع است که می‌توانیم طبق قاعده زیر آن‌ها را با هم ترکیب کنیم:

تعداد ستون‌ها و یا سطرهای آرایه را گاهی مرتبه دترمینان می‌نامند و مقدار دترمینان D، بر حسب عناصر ai و bj و ... به صورت معادله (2) در شکل بالا می‌باشد.

در حالت کلی، دترمینان مرتبه n را می‌توان به صورت ترکیب خطی حاصلضرب عناصر هر سطر یا هر ستون در دترمینان‌هایی از مرتبه (n-1) بسط داد، که دترمینان‌های اخیر از حذف سطر و ستونی از دترمینان اصلی تشکیل شده‌اند، که عنصر اصلی در آن ظاهر می‌شود. اگر جای دو سطر و یا دو ستون را در یک دترمینان عوض کنیم، علامت دترمینان عوض می‌شود که به آن پاد تقارن می‌گویند.

• مجموعه آموزش ریاضیات — کلیک کنید

پادتقارن حالت‌های مختلفی دارد که برخی از آن‌ها عبارت‌انداز:

• هر دترمینانی که دو سطر مساوی یا دو ستون مساوی داشته باشد برابر صفر است.
• اگر همه عناصر یک سطر یا همه عناصر یک ستون در دترمینان صفر باشند آن دترمینان برابر صفر خواهد بود.
• اگر همه عناصر روی یک سطر یا همه عناصر روی یک ستون را در یک مقدار ثابت ضرب کنیم خود دترمینان در آن مقدار ثابت ضرب می‌شود.
• اگر به عناصر یک سطر مضربی از عناصر یک سطر دیگر را اضافه کنیم یا به عناصر یک ستون مضربی از عناصر ستون دیگری را اضافه کنیم مقدار دترمینان تغییری نمی‌کند.

در این بخش از ریاضی فیزیک 1 به تحلیل ماتریسی می‌پردازیم. فرض کنیم عملگر خطی A در فضایی که با بردارهایی پایه معمولی i, j, k توصیف می‌شود عمل می‌کند. اگر A بر i عمل کند، همانطوری‌که در رابطه 1 زیر مشاهده می‌کنید، آن را به ترکیب خطی از بردارهای پایه تبدیل می‌کند. اگر A بر j عمل کند ترکیب خطی ia12+ja22+ka32 و اگر A بر k عمل کند ترکیب خطی ia13+ja23+ka33 را به وجود می‌آورد.

در نهایت اثر A بر بردار U، بردار V را طبق رابطه 2 زیر به وجود می‌آورد.

آرایه عناصر aij را ماتریس می‌نامیم و مجموع حاصلضرب‌های معادله فوق را ضرب ماتریسی (ضرب داخلی) می‌نامیم.

در همه رشته‌های مربوط به ریاضیات با بحث سری های نامتناهی (مجموع‌یابی بی‌نهایت جمله) زیاد سر و کار داریم. در ریاضیات از این سری‌ها برای تثبیت نظریه توابع در تعریف تابع‌ها استفاده می‌کنند همچنین، در ریاضی فیزیک 1 و سایر ریاضیات مهندسی هم برای حل معادلات دیفرانسیلی و انتگرال‌ها به صورت سری فوریه ظاهر شده و مورد استفاده قرار می‌گیرند.

در سری های نامتناهی ما با مجموع n جمله سروکار داریم، مثلاً اگر دنباله‌ای از بی‌نهایت جمله u1,u2,u3,u4,u5,... داشته باشیم مجموع آن‌ها را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

در شکل فوق، عبارت 1 مجموع n جمله متناهی را نشان می‌دهد. اما در عبارت 2 که i به سمت بی‌نهایت میل می‌کند، سری S نامتناهی می‌باشد.

در این قسمت از ریاضی فیزیک 1 به مبحث انتگرال های معین می‌پردازیم. انتگرال های معین نه تنها در ریاضیات بلکه در فیزیک هم همیشه به کار برده می‌شوند. در حالت کلی سه روش خوب برای حل این انتگرال‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرد که عبارت‌انداز:

• انتگرال‌گیری پر بندی
• تبدیل به توابع بتا و گاما
• انتگرال‌گیری با کوادراتور عددی

که در نهایت روش انتگرال گیری پربندی از هر سه روش فوق عملی‌تر است.

بعد از ریاضیات شاید تنها علمی که اینقدر مباحث ریاضی در آن به کار برده شده است علم فیزیک باشد. درس ریاضی فیزیک 1 درسی بسیار حجیم با ده‌ها بحث پیچیده ریاضی که ما در این پست مختصراً به آن پرداختیم، پایه و اساس علم فیزیک به شمار می‌رود. بعد از ریاضی فیزیک 1 نوبت به ریاضی فیزیک 2 می‌رسد تا علم فیزیک را کامل کند و به آن عینیت ببخشد. برای دریافت مجموعه آموزش فیزیک فرادرس می‌توانید بر روی لینک زیر کلیک نمایید:

• مجموعه آموزش فیزیک — کلیک کنید

اثبات وجود کمیت‌های بی‌شمار در علم فیزیک که اغلب آنها غیر ملموس هستند و محاسبه مقادیر آن‌ها صرفاً با معادلات و محاسبات پیچیده‌ی ریاضی امکان‌پذیر است، به همین علت است که اغلب فیزیکدانان، ریاضیدان هم بوده‌اند. امید است مطالب ارائه شده در پست ریاضی فیزیک 1 مفید واقع شده باشد، لطفاً نظرات و پیشنهادات خود را با ما درمیان بگذارید.