آموزش معادلات دیفرانسیل به زبان ساده + فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل
در ریاضیات، معادله دیفرانسیل معادلهای است که شامل یک یا چند تابع با مشتقات آن است. مشتقات تابع درجه تغییر یک تابع را در یک نقطه مشخص میکند. این مورد عمدتاً در زمینههایی مانند فیزیک، مهندسی، زیست شناسی و غیره استفاده میشود. هدف اصلی معادله دیفرانسیل مطالعه راه حلهایی است که معادلات و خواص راه حلها را برآورده میکند. ما نیز میخواهیم آموزش معادلات دیفرانسیل را در این امر بررسی کنیم و جزئیاتش را مورد بررسی قرار دهیم پس تا آخر مقاله با ما همراه باشید تا از این مبحث شیرین و جذاب لذت ببرید.اگر تمایل دارید تا علاوه بر مطالعه این مقاله مباحث دیگر ریاضی را بیاموزید پیشنهاد ما دریافت مجموعه آموزش ریاضیات فرادرس است؛ برای دریافت این مجموعه آموزشی میتوانید به لینک زیر مراجعه کنید.
معادله دیفرانسیل چیست و چه ویژگی هایی دارد؟
(dy/dx) = sin x
(d2y/dx2) + k2y = 0
(d2y/dt2) + (d2x/dt2) = x
(d3y/dx3) + x(dy/dx) - 4xy = 0
(rdr/dθ) + cosθ = 5
این موارد نمونه هایی از معادلات دیفرانسیل هستند.
(d2y/dx2) + k2y = 0
(d2y/dt2) + (d2x/dt2) = x
(d3y/dx3) + x(dy/dx) - 4xy = 0
(rdr/dθ) + cosθ = 5
ترتیب معادلات دیفرانسیل به چه صورت می باشد؟
dy/dx = ex, (d4y/dx4) + y = 0, (d3y/dx3) + x2(d2y/dx2) = 0
در مثال های معادله دیفرانسیل بالا، بیشترین مقدار مشتق به ترتیب درجه اول، چهارم و سوم است.
معادله دیفرانسیل مرتبه اول چیست؟
معادله دیفرانسیل مرتبه دوم چه می باشد؟
تا اینجا ما معادلات دیفرانسیل مرتبه اول و دوم را بررسی نمودیم حال به سراغ درجه معادلات دیفرانسیل می رویم.
درجه معادلات دیفرانسیل به چه معنا می باشد؟
انواع معادلات دیفرانسیل چه می باشند؟
انواع معادلات دیفرانسیل به صورت زیر طبقه بندی می شوند:- معادلات دیفرانسیل معمولی
- معادلات دیفرانسیل جزئی
معادله دیفرانسیل معمولی چیست؟
مثال: (d2y/dx2) + (dy/dx) = 3y cosx
مثال معادله دیفرانسیل فوق یک معادله دیفرانسیل معمولی است زیرا دارای مشتقات جزیی نمی باشد.
معادله دیفرانسیل همگن چیست؟
مثالهایی از معادله دیفرانسیل همگن:
y + x(dy/dx) = 0 یک معادله دیفرانسیل همگن درجه 1 است
x4 + y4 (dy/dx) = 0 یک معادله دیفرانسیل همگن درجه 4 است
xy(dy/dx) + y2 + 2x = 0 یک معادله دیفرانسیل همگن نمیباشد
تمامی این مثالها در خصوص معادلات دیفرانسیل همگن به کار میروند.
معادله دیفرانسیل غیر همگن
مثال: xy(dy/dx) + y2 + 2x = 0 یک معادله دیفرانسیل همگن در بین مثالهایی که آوردیم نمیباشد.
یکی از انواع معادلات دیفرانسیل ناهمگن، معادله دیفرانسیل خطی، مشابه معادله خطی میباشد. معادله دیفرانسیل شکل (dy/dx) + Py = Q (که در آن P و Q تابعی از x هستند) معادله دیفرانسیل خطی نیز نامیده میشود. (dy/dx) + Py = Q (که در آن P، Q ثابت یا تابعی از y هستند).
معادله دیفرانسیل جزئی
تشکیل معادلات دیفرانسیل و یا ساخت معادلات دیفرانسیل به چه صورت میباشد.
ساخت معادلات دیفرانسیل از یک سری معادلههای دیگر مدل سازی شدهاند. قانون دوم نیوتن با معادله دیفرانسیل m توصیف میشود، جایی که m جرم جسم است، h ارتفاع بالاتر از سطح زمین است و معادله دیفرانسیل مورد نظر به صورت عبارت چند جملهای میباشد. به طوری که معادله دیفرانسیل نیوتون به صورت میباشد. این معادله دیفرانسیل مرتبه دوم ارتفاع مجهول به عنوان تابعی از زمان است. با افزایش زمان، جمعیت افزایش مییابد. اگر r > 0 نرخ رشد در این معادله باشد، آنگاه معادله دیفرانسیل مدل سازی جمعیت به صورت dN/dt = rN ارائه میشود.
به عنوان مثال سرعت انتشار بیماری متناسب با محصول افراد مبتلا با افراد غیر آلوده است. این به صورت dN/DT = k N(T-N) مدلسازی میشود، که در آن T جمعیت ثابت و N تعداد افراد مبتلا به بیماری است. برای یک ماده معین، سرعت تغییر فشار بخار P نسبت به دمای T با فشار بخار متناسب و با مجذور دما نسبت معکوس دارد. dP/dt = k P/T^2 و تمامی این موارد مطرح شده در این بخش بر طبق معادله دیفرانسیل قانون نیوتون میباشد.
حل معادلات دیفرانسیل به چه صورت است؟
(dy/dx) = x2y + y
مرحله 1: معادله دیفرانسیل بالا را بر y تقسیم کنید. (متغیر را جدا میکنیم)
(1/y)(dy/dx) = (x2 + 1)
حال y و x را هر دو به عنوان متغیر در نظر میگیریم و آن را به صورت بازنویسی میکنیم.
(dy/y) = (x2 + 1)dx
در مرحله بعدی انتگرال عبارت LHS را با توجه به مقادیر X,y محاسبه میکنیم.
∫(1/y)dx = ∫(x2 + 1)dx
بعد از انتگرال گیری باید عملیات زیر را به انجام برسانیم:
log y = (x3/3) + x + c
خوب، بدین گونه معادله دیفرانسیل حل میشود.
کاربردهای معادلات دیفرانسیل در چه بخش هایی می باشد؟
انواع معادلات دیفرانسیل
معادلات دیفرانسیل جزئی
معادلات دیفرانسیل همگن چه کاربردی دارند؟
در مثال اول میبینید، معادله دیفرانسیل مرتبه اول است که درجهای برابر با 1 را دارد. تمام معادلات خطی به صورت مشتقات در مرتبه اول قرار دارند.
تعریف دقیق انتگرال چه می باشد؟
انتگرال دقیقا برعکس مشتق عبارات می باشد.ترتیب بندی در معادلات دیفرانسیل به چه معنایی می باشد؟
به راحتی میتوان ویژگیهای معادلات دیفرانسیل را تعریف کرد که صحبت در مورد آنها و دسته بندی آنها را آسانتر میکند. اساسیترین مشخصه یک معادله دیفرانسیل نظم و ترتیب آن میباشد.به طور کلی معادله دیفرانسیل به چه معنایی می باشد؟
معادله دیفرانسیل معادلهای است که شامل یک تابع y=f(x) و یک یا چند مشتق از آن است. جواب در معادلات دیفرانسیل تابعی به نام y=f(x) است که معادله دیفرانسیل را زمانی که f و مشتقات آن در معادله جایگزین میشوند برآورده میسازد.کلام آخر در مورد آموزش معادلات دیفرانسیل
نکته دیگر در مورد یادگیری و آموزش معادلات دیفرانسیل این است که باید مثالهای زیادی از این قبیل ببینید و حل کنید. به طور کلی در علم ریاضی ما مثالهای متنوعی در هر مبحث داریم که هر کدام هم راه حلهای متنوعی دارند. اگر برای کنکور در حال درس خواندن هستید و فکر میکنید که معادلات دیفرانسیل بسیار چالش برانگیز هستند، باید به شما بگوییم که اشتباه میکنید. شما با این مقاله مفهوم اصلی معادلات دیفرانسیل را درک خواهید کرد و با حل چند مثال بر این مفهوم تسلط خواهید یافت. در پایان مایلم آموزش نرم افزار FlexPDE فرادرس را به شما معرفی کنم؛ برای دریافت این آموزش میتوانید به لینک زیر مراجعه کنید: