آموزش درس ریاضی فیزیک 1 + معرفی منابع آموزشی
اگر علاقهمند به تحصیل در رشته فیزیک هستید و یا در این رشته از دانشگاه پذیرفته شدهاید، باید این نکته را بدانید که درس ریاضی فیزیک 1، یکی از مهمترین درسهای پایه شما خواهد بود که ریاضیات را به فیزیک پیوند میدهد. درس ریاضی فیزیک 1 یک درس 3 واحدی تخصصی است که پیشنیاز درس ریاضی فیزیک 2 و زلزلهشناسی عمومی و همنیاز درس الکترومغناطیس 1 است. ما در این پست به معرفی سرفصلهای مهم و رایج درس ریاضی فیزیک 1 میپردازیم و با مباحث آن آشنا خواهیم شد.مقدمه
ریاضی فیزیک 1
در حالت کلی میتوان گفت ریاضی که در فیزیک مورد استفاده قرار میگیرد شاید همگن نباشد یعنی در یک مبحث ممکن است چندین مبحث غیرمرتبط ریاضی مطرح شود. در این مطلب سعی شده به طور کلی مباحث این درس آموزش داده شود اما اگر میخواهید همین آموزش را به صورت فیلم آموزشی دریافت کنید، میتوانید به فرادرس مراجعه نمایید. برای دریافت این آموزش بر روی لینک زیر کلیک نمایید:
تحلیل برداری
- کمیتهای نردهای: کمیت هایی هستند که فقط اندازه دارند مثل دما، زمان، جرم و غیره
- کمیتهای برداری: کمیتهایی هستند که علاوه بر اندازه، جهت هم دارند مثل نیرو، شتاب، سرعت و غیره
در قسمت قبل بردارها را به صورت هندسی نشان دادیم یعنی با مشخص کردن بزرگی و جهت آنها، حالا میخواهیم آنها را به صورت جبری هم نشان دهیم یعنی در محورهای مختصات.
در نمودار فوق روابط زیر برقرار است:
x1=r cosα
y1=r cosβ
z1=r cosγ
y1=r cosβ
z1=r cosγ
دستگاه های مختصات
در قسمتهای قبل با دو روش جبری و روش هندسی برای تحلیل بردارها آشنا شدیم. در این بخش از ریاضی فیزیک 1، با دستگاه های مختصات که کاملتر از روشهای قبل هستند آشنا میشویم. برای بررسی مفهوم بردار r در دستگاه مختصات، ابتدا حالت دوبعدی آن را در نظر میگیریم به این صورت که، x و y به اندازه φ در جهت عکس عقربههای ساعت چرخیده و r ثابت میماند که در این حالت روابط زیر برقرار است:
xَ = x cos φ + y sin φ
yَ = -x sin φ + y cos φ
مشاهده میکنید که میتوانیم بردار را با مختصات یک نقطه هم نمایش دهیم.yَ = -x sin φ + y cos φ
ضرب اسکالر یا نقطه ای
A.B = ABcosθ
قانون کسینوس ها
ضرب برداری
گرادیان
φََ (xَ1,xَ2,xَ3)=φ(x1,x2,x3)
مطابق شکل زیر، از طرفین معادله مشتق گرفته و در نهایت به معادله بردار گرادیان φ میرسیم. گرادیان تابع اسکالر φ را با نماد مثلث وارونه نشان میدهند و آن را دِل φ هم میگویند، یک عمل دیفرانسیلی است که بر روی اسکالر φ عمل کرده و یا از آن مشتق میگیرد.
دیورژانس
در دیورژانس هم به لحاظ نموداری، گرادیان یک منحنی یا مدار و یا مسیر را داریم. حالا اگر بخواهیم r(t) را به مؤلفههای دکارتیاش تجزیه کنیم شرایط کمی پیچیدهتر میشود چون جهت بردارهای یکه در این دستگاهها ثابت نیست.
بهتر است این نکته را نیز ذکر کنم که مشتق گیری نسبت به مختصات فضایی هم مثل مشتق گیری نسبت به زمان صورت میگیرد. در قسمت قبل دیدیم که گرادیان به صورت یک عملگر برداری تعریف میشود، حالا با در نظر گرفتن هر دو جنبه خاصیت برداری و مشتق گیری از این بردار، حاصل اعمال آنها بر یک بردار دیگر را بررسی میکنیم.
همانطوریکه در فرمول بالا میبینید، به حاصلضرب داخلی یک بردار با گرادیان، دیورژانس میگویند.
انتگرال گیری برداری
- انتگرال گیری خطی
- انتگرال گیری سطحی
- انتگرال گیری حجمی
قضیه گاؤس
در حالت کلی انتگرال سطحی یک بردار روی یک سطح بسته برابر است با انتگرال حجمی دیورژانس آن بردار روی حجم محاط شده درون سطح.
قضیه گرین
معادله فوق از تفاضل اتحادهای دو تابع اسکالر u و v به دست میآید که فرض میکنیم، u و v و مشتقهای آنها پیوسته باشند. از قضیه فوق برای بررسی توابع گرین استفاده میشود و صورتهای مختلفی از معادله گرین وجود دارد.
معادله پواسن
حال اگر در معادله (2) مقدار P را برابر صفر در نظر بگیریم حاصل برابر یک معادله لاپلاس خواهد بود. در درس ریاضی فیزیک 1 با معادله لاپلاس بسیار سر و کار خواهیم داشت. معادله پواسن در تشریح و ارائه نظریه توابع گرین بسیار مؤثر است.
دستگاه های مختصات
تحلیل تانسوری
- خاصیت کشسانی
- خاصیت اپتیکی
- خاصیت الکتریکی
- خاصیت مغناطیسی
نظریه کشسانی
بر اساس این نظریه اگر یک جسم کشسانی تحت تاثیر یک نیروی خارجی یا یک تنش قرار بگیرد تغییر شکل میدهد یا دستخوش کرنش میشود. بر حسب تانسور، بررسی کشسانی در سه بخش زیر انجام میشود:- توصیف کرنش یا تغییر شکل ماده کشسان
- توصیف نیرو یا تنشی که تغییر شکل را بهوجود میآورد.
- قانون تعمیم یافته هوک به صورت تانسوری که مابین تنش و کرنش رابطه برقرار میکند.
دترمینان
تعداد ستونها و یا سطرهای آرایه را گاهی مرتبه دترمینان مینامند و مقدار دترمینان D، بر حسب عناصر ai و bj و ... به صورت معادله (2) در شکل بالا میباشد.
در حالت کلی، دترمینان مرتبه n را میتوان به صورت ترکیب خطی حاصلضرب عناصر هر سطر یا هر ستون در دترمینانهایی از مرتبه (n-1) بسط داد، که دترمینانهای اخیر از حذف سطر و ستونی از دترمینان اصلی تشکیل شدهاند، که عنصر اصلی در آن ظاهر میشود. اگر جای دو سطر و یا دو ستون را در یک دترمینان عوض کنیم، علامت دترمینان عوض میشود که به آن پاد تقارن میگویند.
پادتقارن حالتهای مختلفی دارد که برخی از آنها عبارتانداز:
- هر دترمینانی که دو سطر مساوی یا دو ستون مساوی داشته باشد برابر صفر است.
- اگر همه عناصر یک سطر یا همه عناصر یک ستون در دترمینان صفر باشند آن دترمینان برابر صفر خواهد بود.
- اگر همه عناصر روی یک سطر یا همه عناصر روی یک ستون را در یک مقدار ثابت ضرب کنیم خود دترمینان در آن مقدار ثابت ضرب میشود.
- اگر به عناصر یک سطر مضربی از عناصر یک سطر دیگر را اضافه کنیم یا به عناصر یک ستون مضربی از عناصر ستون دیگری را اضافه کنیم مقدار دترمینان تغییری نمیکند.
ماتریس ها
در نهایت اثر A بر بردار U، بردار V را طبق رابطه 2 زیر به وجود میآورد.
آرایه عناصر aij را ماتریس مینامیم و مجموع حاصلضربهای معادله فوق را ضرب ماتریسی (ضرب داخلی) مینامیم.
سری های نامتناهی
در سری های نامتناهی ما با مجموع n جمله سروکار داریم، مثلاً اگر دنبالهای از بینهایت جمله u1,u2,u3,u4,u5,... داشته باشیم مجموع آنها را به صورت زیر تعریف میکنیم:
در شکل فوق، عبارت 1 مجموع n جمله متناهی را نشان میدهد. اما در عبارت 2 که i به سمت بینهایت میل میکند، سری S نامتناهی میباشد.
انتگرال های معین
- انتگرالگیری پر بندی
- تبدیل به توابع بتا و گاما
- انتگرالگیری با کوادراتور عددی
سخن پایانی درمورد ریاضی فیزیک 1
اثبات وجود کمیتهای بیشمار در علم فیزیک که اغلب آنها غیر ملموس هستند و محاسبه مقادیر آنها صرفاً با معادلات و محاسبات پیچیدهی ریاضی امکانپذیر است، به همین علت است که اغلب فیزیکدانان، ریاضیدان هم بودهاند. امید است مطالب ارائه شده در پست ریاضی فیزیک 1 مفید واقع شده باشد، لطفاً نظرات و پیشنهادات خود را با ما درمیان بگذارید.
منبع : top image : Mathademy.com